Algèbre, Arithmétique et Géométrie. Classe de Troisième - download pdf or read online

By C.; Hemery, C. Lebosse

Cours conforme au programme du 23 juin 1962.

Table des matières :

Algèbre et Arithmétique

Leçon 1 — Rapports
Leçon 2 — Proportions
Leçon three — Racine carrée entière d’un nombre entier
Leçon four — Racine carré approchée. — Racine carrée exacte
Leçon five — Radicaux arithmétiques. — Racines d’un nombre relatif
Leçon 6 — Expressions algébriques. — Monômes
Leçon 7 — Polynômes
Leçon eight — Multiplication des monômes et des polynômes
Leçon nine — Identités remarquables
Leçon 10 ­— department des monômes et des polynômes. — Décomposition en facteurs
Leçon eleven — Fractions rationnelles
Leçon 12 — Équation du most well known degré à une inconnue
Leçon thirteen — Équations qui se ramènent au top-rated degré. — Équations littérales
Leçon 14 — Systèmes d’équations du optimum degré
    Élimination par substitution
    Élimination par addition
    Généralisations
Leçon 15 — Inéquation du optimal degré à une inconnue
Leçon sixteen — Les problèmes d’algèbre
Leçon 17 — Fonctions et graphiques
Leçon 18 — Étude de los angeles fonction : y = ax
Leçon 19 — Étude de l. a. fonction : y = ax + b
Leçon 20 — functions de los angeles fonction : y = ax + b

Géométrie

I. Géométrie plane

Leçon 1 — Rapport de deux segments. — issues divisant un phase dans un rapport donné
Leçon 2 — Théorème de Thalès
Leçon three — purposes du théorème de Thalès
    Propriété des bissectrices d’un triangle
    Constructions
Leçon four — Triangles semblables
    Premières applications
Leçon five — Cas de similitude des triangles
Leçon 6 — functions de los angeles similitude
Leçon 7 — relatives métriques dans le triangle rectangle
Leçon eight — Rapports trigonométriques
Leçon nine — kinfolk trigonométriques dans le triangle rectangle
Leçon 10 — family members métriques dans le cercle
Leçon eleven — buildings géométriques
Leçon 12 — Polygones réguliers. — Périmètre du cercle
Leçon thirteen — Mesure des aires

II. Géométrie dans l’espace

Leçon 14 — Généralités sur le plan
Leçon 15 — Droites parallèles. — perspective de deux droites
Leçon sixteen — Droite et plan parallèles
Leçon 17 — Plans parallèles
Leçon 18 — Droite et plan perpendiculaires
Leçon 19 — Droites orthogonales. — Perpendiculaires et obliques
Leçon 20 — Angles dièdres
Leçon 21 — Plans perpendiculaires
Leçon 22 — Projections orthogonales. — Vecteurs

Show description

Read or Download Algèbre, Arithmétique et Géométrie. Classe de Troisième PDF

Best elementary books

New PDF release: Analytic inequalities

Mathematical research is essentially a scientific learn and exploration of inequalities — yet for college kids the examine of inequalities frequently is still a overseas nation, tricky of entry. This booklet is a passport to that kingdom, delivering a historical past on inequalities that may arrange undergraduates (and even highschool scholars) to deal with the strategies of continuity, spinoff, and critical.

Negotiating For Dummies by Michael C. Donaldson PDF

Those that can’t or won’t negotiate all alone behalf run the chance of paying an excessive amount of, incomes too little, and continually feeling like they’re getting gypped. Negotiating For Dummies, moment, variation deals information and methods that will help you turn into a more well-off and potent negotiator. And, it exhibits you negotiating can enhance a lot of your daily transactions—everything from purchasing a automobile to upping your wage.

Additional info for Algèbre, Arithmétique et Géométrie. Classe de Troisième

Example text

S ❛❧s♦ ❛♣♣❧✐❡s t♦ t❤❡ ✜♥✐t❡ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✸✳ Tr(F m ) = |X(km )| ❢♦r ❡✈❡r② k✳ ❍❡♥❝❡ ✿ m 1✳ ❘❡♠❛r❦s✳ ✶✮ ❙✐♥❝❡ F :X→X ✐s ❛ r❛❞✐❝✐❛❧ ♠♦r♣❤✐s♠✱ ✐t ✐s ❛♥ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ❢♦r t❤❡ ét❛❧❡ t♦♣♦❧♦❣②✳ ❍❡♥❝❡ ❡✈❡r② ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ F ♦♥ Hci (X, Q ) ✐s ♥♦♥✲③❡r♦ ❀ ❢♦r ❛ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡ st❛t❡♠❡♥t✱ s❡❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺ ❜❡❧♦✇✳ ✷✮ ❚❤❡ t❤❡♦r❡♠ ♣r♦✈❡❞ ❜② ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦✱ ❧♦❝✳❝✐t✳✱ ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❛♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷ ✿ ✐t ❛♣♣❧✐❡s t♦ ❡✈❡r② ❝♦♥str✉❝t✐❜❧❡ ❛s ❛ s✉♠ ♦❢ ❧♦❝❛❧ tr❛❝❡s ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✸✮ ❆ss✉♠❡ k = Fp ✱ Q ✲s❤❡❛❢✱ ❛♥❞ ❣✐✈❡s Tr(F ) X(k)✳ t♦ s✐♠♣❧✐❢② ♥♦t❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✸ ✐s ❡q✉✐✈❛✲ ❧❡♥t t♦ s❛②✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t s❡r✐❡s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ζX,p (s) ✐♥ ➓✶✳✺ ✐s ❡q✉❛❧ ✸✹ ✹✳ ❘❡✈✐❡✇ ♦❢ −s F |Hci (X, Q i det(1 − p ▼♦r❡♦✈❡r✱ ♦♥❡ ❤❛s t♦ i+1 ))(−1) NX (pe ) = ✲❛❞✐❝ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ p−s ✳ (−1)i Tri (F e ) i e ∈ Z ✭❛♥❞ ♥♦t ♠❡r❡❧② ❢♦r e 1✮✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ NX (p0 ) ✐s ❡q✉❛❧ t♦ i i (−1) dim Hc (X, Q )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛ré ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♦❢ X ✳ ❢♦r ❡✈❡r② i ✹✳✹✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ✿ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛♥❞ t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❑❡❡♣ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ➓✹✳✸✳ ❚❤❡ ●❛❧♦✐s ❣r♦✉♣ i ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❣r♦✉♣ Hc (X, Q ♦❢ Γk )✳ Γk = Gal(k/k) ❛❝ts ♦♥ ❡❛❝❤ σ = σq σ ✮✱ t❤❛t ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❛r✐t❤✲ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❣❡♥❡r❛t♦r ❛❝ts ❜② ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ✭st✐❧❧ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ✐t ❢r♦♠ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s F ❞❡✜♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ❚❤❡s❡ t✇♦ ❦✐♥❞ ♦❢ ✏❋r♦❜❡♥✐✉s ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s✑ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐♠♣❧❡ r❡s✉❧t ✭s❡❡ ❬❙●❆ ✺✱ ♣✳✹✺✼❪✱ ♦r ❬❑❛ ✾✹✱ ✷✹✲✷✺❪✮ ✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✳ ❚❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❛♥❞ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❛r❡ ✐♥✈❡rs❡s ♦❢ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ σ(F ξ) = F (σξ) = ξ ❢♦r ❡✈❡r② ❆ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❣r♦✉♣s ξ ∈ Hci (X, Q )✳ H i (X, Q )✱ ❜✐tr❛r② s✉♣♣♦rt ✭❛♥❞ ❛❧s♦ ❢♦r t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ ❊①❛♠♣❧❡✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❚❛t❡ Q X ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ✈❛r✐❡t② ♦✈❡r ✇✐t❤ ❛r✲ Z/ n Z✮✳ k ✱ ❛♥❞ ❧❡t V (X) ❜❡ ✐ts ✲♠♦❞✉❧❡✳ ❬❘❡❝❛❧❧ t❤❛t V (X) = Q ⊗ lim X[ n ]✱ ✇❤❡r❡ X[ n ] ✐s t❤❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ t❤❡ n ✲❞✐✈✐s✐♦♥ ←− ♣♦✐♥ts ♦❢ X(k)✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ♦❢ n : X(k) → X(k✮ ❀ ✐t ✐s ❛ Q ✲✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 2dim X ✳❪ ❚❤❡ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s F s F : X → X ❛❝ts ♦♥ V (X) ❀ t❤❡ ❛r✐t❤✲ ❛❧s♦ ❛❝ts✱ ❛♥❞ ✐ts ❛❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ F ❛♥❞ s ❛❝t ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛② ♦♥ X(k)✮✳ ❚❤❡ ✜rst ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② H 1 (X, Q ) ✐s t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ V (X) ❀ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ F ♦♥ ✐t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❢✉♥❝t♦r✐❛❧✐t②✱ ✐✳❡✳ ❜② tr❛♥s♣♦s✐t✐♦♥ ❀ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ s ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② tr❛♥s♣♦rt ♦❢ ✭❜❡❝❛✉s❡ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡✱ ✐✳❡✳ ❜② ✐♥✈❡rs❡ tr❛♥s♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❡①♣❧❛✐♥s ✇❤② t❤❡ t✇♦ ❛❝t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳ ✸ ❲❤❛t ✸ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ s✉❣❣❡sts ✐s t❤❛t✱ ✐❢ ét❛❧❡ t♦♣♦❧♦❣② ✇❡r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❤♦♠♦❧♦❣② ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ t❤❡ t✇♦ t②♣❡s ♦❢ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡✳ ✹✳✺✳ ✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ✿ ❉❡❧✐❣♥❡✬s t❤❡♦r❡♠s ✸✺ ✹✳✺✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ✿ ❉❡❧✐❣♥❡✬s t❤❡♦r❡♠s ❲❡ ❦❡❡♣ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❤②♣♦t❤❡s❡s ♦❢ ➓✹✳✹ ❛❜♦✈❡✳ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t w ∈ N ✐s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r α |ι(α)| = q w/2 ❢♦r ❡✈❡r② ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ι : Q(α) → C✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❛ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛ s✉❝❤ t❤❛t q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t ✵ ✐s ❛ r♦♦t ♦❢ ✉♥✐t② ✭❑r♦♥❡❝❦❡r✮✳ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t ✇❡✐❣❤t w r❡❧❛t✐✈❡❧② t♦ q ✑✳ ❘❡♠❛r❦✳ ■♥ ❉❡❧✐❣♥❡ ❬❉❡ ✽✵✱ ➓✶✳✷✳✶❪✱ ✇❤❛t ✇❡ ❝❛❧❧ ❛ w ✐s ❝❛❧❧❡❞ ✏ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r t❤❛t ✐s ♣✉r❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✳ ✭❉❡❧✐❣♥❡✮ ▲❡t d = dim X ✳ α ♦❢ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s F ❛❝t✐♥❣ ♦♥ Hci (X, Q ) ✐s ❛ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t i ; ✐❢ i d✱ t❤❡♥ α ✐s ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② q i−d .

Ss✉♠❡ t❤❛t X ✐s ♣r♦♣❡r ❛♥❞ s♠♦♦t❤✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♣♦❧②✲ i ♥♦♠✐❛❧ ♦❢ F ❛❝t✐♥❣ ♦♥ Hc (X, Q ) ❤❛s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ Z ❛♥❞ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ; ✐ts r♦♦ts ❛r❡ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡rs ♦❢ ✇❡✐❣❤t i✳ ❛✮ ❊✈❡r② ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❆ss❡rt✐♦♥ ❜✮ ✐s t❤❡ ❝❡❧❡❜r❛t❡❞ ❲❡✐❧ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳ ■t ✐s ♣r♦✈❡❞ ✐♥ ❬❉❡ ✼✹❪ X ✉♥❞❡r t❤❡ s❧✐❣❤t❧② r❡str✐❝t✐✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ✐s ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ♠❡r❡❧② ♣r♦♣❡r ❀ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❬❉❡ ✽✵❪✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❛✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬❉❡ ✽✵✱ ➓✸✳✸❪ ❀ s❡❡ ❛❧s♦ ❬❑❛ ✾✹✱ ♣♣✳✷✻✲✷✼❪✳ ❚❤❡ ❞✐✈✐s✐❜✐❧✐t② ♦❢ α ❜② q i−d ✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② st❛t❡❞ ✐♥ ❬❉❡ ✽✵❪✱ ❜✉t ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❈♦r✳ ✸✳✸✳✽ ✇❤✐❝❤ s❛②s t❤❛t✱ ✐❢ ❡✈❡r② p✲❛❞✐❝ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ v ♦❢ i d✱ ♦♥❡ ❤❛s v(α) (i − d)v(q) ❢♦r Q(α)✳ = p✱ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ t❤❡ i✲t❤ ❇❡tt✐ ♥✉♠❜❡r Bi ♦❢ X ❛s Hci (X, Q ) ✭r❡❝❛❧❧ t❤❛t ✐t ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ✐♥ ❝❛s❡ NX (q) ❜❡✱ ❛s ✉s✉❛❧✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ X(k)✳ ❇② ▲❡t ✉s ✜① ❛ ♣r✐♠❡ t❤❡ Q ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❜✮ ❛❜♦✈❡✮✳ ▲❡t ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺ ✇❡ ❣❡t ✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✳ NX (q) = i=2d i i=0 (−1) νi ✱ ✇❤❡r❡ i/2 ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r s✉❝❤ t❤❛t |νi | q Bi ✳ ✭▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ❛❧❧ t❤❡ ●❛❧♦✐s ❝♦♥❥✉❣❛t❡s ♦❢ ❞❡❞ ❜② νi = Tr(F |Hci (X, Q )) ✐s νi ❤❛✈❡ ❛❜s♦❧✉t❡ ✈❛❧✉❡ ❜♦✉♥✲ q i/2 Bi ✳✮ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ✏♠❛✐♥ t❡r♠✑ ✐♥ t❤✐s ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ν2d ✱ ✇❤❡r❡ d = dim X ✳ ■ts IX t❤❡ s❡t ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ✐s ❡❛s② t♦ ❝♦♠♣✉t❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❧❡t ✉s ❞❡♥♦t❡ ❜② X ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✳ ■t ✐s ♣r♦✈❡❞ ✐♥ ❬❙●❆ ✹✱ ❳❱■■■✳✷✳✾❪ t❤❛t Hc2d (X, Q ) ✐s ❝❛♥♦♥✐❝❛❧❧② ✐s♦♠♦r♣❤✐❝✹ t♦ Q (−d)IX ✳ ❙✐♥❝❡ F ❛❝ts ❜② q d d ♦♥ Q (−d)✱ t❤✐s s❤♦✇s t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ν2d = eq , ✇❤❡r❡ e ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ IX t❤❛t ❛r❡ k ✲r❛t✐♦♥❛❧✱ ✐✳❡✳ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r σq ✳ ❇② ❛♣♣❧②✐♥❣ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡st✐♠❛t❡ ✿ ✹ ❘❡❝❛❧❧ Q ✲❞✉❛❧ ♦❢ Q (−d) ✐s t❤❡ d✲t❤ t❡♥s♦r ♣♦✇❡r ♦❢ Q (−1)✱ ❛♥❞ t❤❛t Q (−1) ✐s t❤❡ Q (1) = Q ⊗ lim µ n ✱ ✇❤❡r❡ µ n ✐s t❤❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ n ✲t❤ r♦♦ts ♦❢ ✉♥✐t② ✐♥ k✳ ←− t❤❛t ✸✻ ✹✳ ❘❡✈✐❡✇ ♦❢ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✼✳ |NX (q) − eq d | 1 (B − B2d )q d− 2 , ✇❤❡r❡ ✲❛❞✐❝ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② B= ❤❛s ♦♥❧② ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✱ ❤❡♥❝❡ Bi .

Tr(F ) = i ❚❤✐s ✐s t❤❡ ▲❡❢s❝❤❡t③ ♥✉♠❜❡r ♦❢ F✱ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ✲❛❞✐❝ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✇✐t❤ ♣r♦♣❡r s✉♣♣♦rt✳ ❆ ♣r✐♦r✐✱ ✐t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐t ❞♦❡s ♥♦t✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ♦❢ ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦ ✭❬●r ✻✹❪✱ s❡❡ ❛❧s♦ ❬❙●❆ 4 21 ✱ ♣✳✽✻✱ t❤✳✸✳✷❪✮ ✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✳ Tr(F ) = |X(k)|. ❚❤✐s ❛❧s♦ ❛♣♣❧✐❡s t♦ t❤❡ ✜♥✐t❡ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✸✳ Tr(F m ) = |X(km )| ❢♦r ❡✈❡r② k✳ ❍❡♥❝❡ ✿ m 1✳ ❘❡♠❛r❦s✳ ✶✮ ❙✐♥❝❡ F :X→X ✐s ❛ r❛❞✐❝✐❛❧ ♠♦r♣❤✐s♠✱ ✐t ✐s ❛♥ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ❢♦r t❤❡ ét❛❧❡ t♦♣♦❧♦❣②✳ ❍❡♥❝❡ ❡✈❡r② ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ F ♦♥ Hci (X, Q ) ✐s ♥♦♥✲③❡r♦ ❀ ❢♦r ❛ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡ st❛t❡♠❡♥t✱ s❡❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺ ❜❡❧♦✇✳ ✷✮ ❚❤❡ t❤❡♦r❡♠ ♣r♦✈❡❞ ❜② ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦✱ ❧♦❝✳❝✐t✳✱ ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❛♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷ ✿ ✐t ❛♣♣❧✐❡s t♦ ❡✈❡r② ❝♦♥str✉❝t✐❜❧❡ ❛s ❛ s✉♠ ♦❢ ❧♦❝❛❧ tr❛❝❡s ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✸✮ ❆ss✉♠❡ k = Fp ✱ Q ✲s❤❡❛❢✱ ❛♥❞ ❣✐✈❡s Tr(F ) X(k)✳ t♦ s✐♠♣❧✐❢② ♥♦t❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✸ ✐s ❡q✉✐✈❛✲ ❧❡♥t t♦ s❛②✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t s❡r✐❡s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ζX,p (s) ✐♥ ➓✶✳✺ ✐s ❡q✉❛❧ ✸✹ ✹✳ ❘❡✈✐❡✇ ♦❢ −s F |Hci (X, Q i det(1 − p ▼♦r❡♦✈❡r✱ ♦♥❡ ❤❛s t♦ i+1 ))(−1) NX (pe ) = ✲❛❞✐❝ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ p−s ✳ (−1)i Tri (F e ) i e ∈ Z ✭❛♥❞ ♥♦t ♠❡r❡❧② ❢♦r e 1✮✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ NX (p0 ) ✐s ❡q✉❛❧ t♦ i i (−1) dim Hc (X, Q )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛ré ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♦❢ X ✳ ❢♦r ❡✈❡r② i ✹✳✹✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ✿ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛♥❞ t❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❑❡❡♣ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ➓✹✳✸✳ ❚❤❡ ●❛❧♦✐s ❣r♦✉♣ i ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❣r♦✉♣ Hc (X, Q ♦❢ Γk )✳ Γk = Gal(k/k) ❛❝ts ♦♥ ❡❛❝❤ σ = σq σ ✮✱ t❤❛t ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❛r✐t❤✲ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❣❡♥❡r❛t♦r ❛❝ts ❜② ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ✭st✐❧❧ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ✐t ❢r♦♠ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s F ❞❡✜♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ❚❤❡s❡ t✇♦ ❦✐♥❞ ♦❢ ✏❋r♦❜❡♥✐✉s ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s✑ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐♠♣❧❡ r❡s✉❧t ✭s❡❡ ❬❙●❆ ✺✱ ♣✳✹✺✼❪✱ ♦r ❬❑❛ ✾✹✱ ✷✹✲✷✺❪✮ ✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✳ ❚❤❡ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❛♥❞ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❛r❡ ✐♥✈❡rs❡s ♦❢ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ σ(F ξ) = F (σξ) = ξ ❢♦r ❡✈❡r② ❆ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❣r♦✉♣s ξ ∈ Hci (X, Q )✳ H i (X, Q )✱ ❜✐tr❛r② s✉♣♣♦rt ✭❛♥❞ ❛❧s♦ ❢♦r t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ ❊①❛♠♣❧❡✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❚❛t❡ Q X ✐s ❛♥ ❛❜❡❧✐❛♥ ✈❛r✐❡t② ♦✈❡r ✇✐t❤ ❛r✲ Z/ n Z✮✳ k ✱ ❛♥❞ ❧❡t V (X) ❜❡ ✐ts ✲♠♦❞✉❧❡✳ ❬❘❡❝❛❧❧ t❤❛t V (X) = Q ⊗ lim X[ n ]✱ ✇❤❡r❡ X[ n ] ✐s t❤❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ t❤❡ n ✲❞✐✈✐s✐♦♥ ←− ♣♦✐♥ts ♦❢ X(k)✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ♦❢ n : X(k) → X(k✮ ❀ ✐t ✐s ❛ Q ✲✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 2dim X ✳❪ ❚❤❡ ❋r♦❜❡♥✐✉s ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♠❡t✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s F s F : X → X ❛❝ts ♦♥ V (X) ❀ t❤❡ ❛r✐t❤✲ ❛❧s♦ ❛❝ts✱ ❛♥❞ ✐ts ❛❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ F ❛♥❞ s ❛❝t ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛② ♦♥ X(k)✮✳ ❚❤❡ ✜rst ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② H 1 (X, Q ) ✐s t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ V (X) ❀ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ F ♦♥ ✐t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❢✉♥❝t♦r✐❛❧✐t②✱ ✐✳❡✳ ❜② tr❛♥s♣♦s✐t✐♦♥ ❀ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ s ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② tr❛♥s♣♦rt ♦❢ ✭❜❡❝❛✉s❡ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡✱ ✐✳❡✳ ❜② ✐♥✈❡rs❡ tr❛♥s♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❡①♣❧❛✐♥s ✇❤② t❤❡ t✇♦ ❛❝t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳ ✸ ❲❤❛t ✸ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ s✉❣❣❡sts ✐s t❤❛t✱ ✐❢ ét❛❧❡ t♦♣♦❧♦❣② ✇❡r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❤♦♠♦❧♦❣② ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ t❤❡ t✇♦ t②♣❡s ♦❢ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡✳ ✹✳✺✳ ✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ✿ ❉❡❧✐❣♥❡✬s t❤❡♦r❡♠s ✸✺ ✹✳✺✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ✜❡❧❞ ✿ ❉❡❧✐❣♥❡✬s t❤❡♦r❡♠s ❲❡ ❦❡❡♣ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❤②♣♦t❤❡s❡s ♦❢ ➓✹✳✹ ❛❜♦✈❡✳ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t w ∈ N ✐s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r α |ι(α)| = q w/2 ❢♦r ❡✈❡r② ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ι : Q(α) → C✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❛ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛ s✉❝❤ t❤❛t q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t ✵ ✐s ❛ r♦♦t ♦❢ ✉♥✐t② ✭❑r♦♥❡❝❦❡r✮✳ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t ✇❡✐❣❤t w r❡❧❛t✐✈❡❧② t♦ q ✑✳ ❘❡♠❛r❦✳ ■♥ ❉❡❧✐❣♥❡ ❬❉❡ ✽✵✱ ➓✶✳✷✳✶❪✱ ✇❤❛t ✇❡ ❝❛❧❧ ❛ w ✐s ❝❛❧❧❡❞ ✏ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r t❤❛t ✐s ♣✉r❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✳ ✭❉❡❧✐❣♥❡✮ ▲❡t d = dim X ✳ α ♦❢ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s F ❛❝t✐♥❣ ♦♥ Hci (X, Q ) ✐s ❛ q ✲❲❡✐❧ ✐♥t❡❣❡r ♦❢ ✇❡✐❣❤t i ; ✐❢ i d✱ t❤❡♥ α ✐s ❞✐✈✐s✐❜❧❡ ❜② q i−d .

Download PDF sample

Algèbre, Arithmétique et Géométrie. Classe de Troisième by C.; Hemery, C. Lebosse


by Jason
4.0

Rated 4.64 of 5 – based on 33 votes