Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)'s Algebra PDF

By Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

ISBN-10: 3540653600

ISBN-13: 9783540653608

ISBN-10: 366205647X

ISBN-13: 9783662056479

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete und erweiterte dritte Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen. Neu hinzugekommen sind zwei Abschnitte ?ber Kummer-Theorie, einschlie?lich einer Einf?hrung in den Kalk?l der Witt-Vektoren, und eine Herleitung der Formeln zur Aufl?sung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades. Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Satz 2. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Beweis. 3/4 vor. Sei a c R ein Ideal; ohne Einschränkung gelte a f O. Man wähle unter den Elementen a von a - {O} eines mit der Eigenschaft, daß 8(a) minimal unter der Gradabbildung 8 unseres euklidischen 44 2. runge und Polynome Rings R ist. Dann gilt schon a = (a). Ist nämlich f E a, f = qa + r mit 8(r) < 8(a) oder r = 0, so folgt r = f -qa E a. Wegen der Minimalität von 8(a) muß r = 0 gelten und somit f = qa E (a). Dies zeigt aC (a). Die umgekehrte Inklusion ist trivial, so daß a = (a) Hauptideal ist.

Aller irreduziblen Polynome, deren höchster Koeffizient 1 ist. Wir wollen im folgenden noch auf die Begriffe größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches eingehen. Sei Rein Integritätsring, und seien Xl. ,Xn E R. Ein Element dER heißt gröpter gemeinsamer Teiler von Xb'" ,Xn , wenn gilt: (i) d IXi für i = 1, . ,n, d. h. d ist gemeinsamer Teiler aller Xi. (ii) Ist a E R gemeinsamer Teiler der Xi, also a IXi für i = 1, ... ,n, so folgt ald. Es ist dann d eindeutig bis auf Assoziiertheit, und man verwendet die Notation d = ggT(XI, ...

Man überlege, unter welchen Bedingungen die Vereinigung zweier Ideale oder allgemeiner einer Familie von Idealen eines Ringes R wieder ein Ideal ist. 3 Ringhomomorphismen, Faktorringe 35 3. Es sei K ein Körper. Man betrachte K 2 = K x K als ringtheoretisches Produkt sowie auch als K- Vektorraum. Man vergleiche die Begriffe Unterring, Ideal und Untervektorraum am Beispiel dieses Ringes. 4. Man berechne folgende Ideale in Z, indem man ein erzeugendes Element angibt: (2) + (3), (4) + (6), (2) n (3), (4) n (6).

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Algebra by Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)


by Robert
4.3

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